第4章 立体表面的交线
当平面与立体相交或立体与立体相交时,在立体表面上会产生交线.。平面与立体相交在立体表面产生的交线称为截交线，立体与立体相交在立体表面产生的交线称为相贯线，本章主要研究截交线和相贯线的作图方法。
4.1 平面与立体相交
在图4-1中，平面P与三棱锥相交，平面P是截平面，在三棱锥表面产生的交线△ABC为截交线，截交线所围成的平面图形叫截断面。由于立体表面的性质不同，截交线也具有不同的性质。当平面与平面立体相交时，在立体表面产生的截交线，一定是平面多边形。当平面与回转体相交时，在立体表面产生的截交线，可以是封闭的平面曲线、平面曲线与直线组成的封闭平面图形或折线组成的封闭平面图形。
图 4-1 截交线概念
不管是平面与平面立体相交，还是平面与回转体相交，其截交线都具有如下基本性质：
(1) 共有性 截交线为截平面与立体表面所共有。
(2) 封闭性 由于立体表面都有一定范围，因此截交线一般为封闭的平面图形。
4.1.1 截交线的一般作图方法及步骤
由截交线的基本性质可以看出，求作截交线就是要求出截平面与立体表面的一系列共有点。求截交线的一般作图方法和步骤如下：
（1） 分析已知视图
空间分析 分析立体表面的几何性质和截平面与立体的相互关系，判断截交线的空间性质和形状。
投影分析 分析立体的放置位置和截平面与投影面的相对位置，判断截交线的投影范围和特征。
（2） 投影作图
1）求特殊点
截交线上的特殊点，是指能确定截交线投影范围、区分截交线投影可见与不可见的分界点。对于平面立体各棱线与截平面的交点都是特殊点；回转体的特殊点是决定截交线曲线性质的一些特定点，如椭圆长短轴的端点、抛物线双曲线的顶点等，截交线投影可见与不可见的分界点，这些点一般位于立体表面的投影的轮廓素线上。
2）求一般点
当截交线是曲线时，求适当个一般点，以便使截交线能光滑连接，使曲线的形状和位置较为准确。
3）判断可见性，并顺序连点。
截交线可见性的判别原则是：当立体表面为可见时，该表面上的截交线为可见；否则为不可见。可见
的截交线画成粗实线，不可见的截交线画成虚线。
平面立体截交线的连点原则是：同一棱面上的两点才可相连。
曲面立体截交线的连点原则是：相邻两条素线上的两点方可相连。
4）检查整理立体的外形轮廓线。
4.1.2 平面与平面立体相交
当平面与平面立体相交时，在立体表面产生的截交线是平面多边形，截平面与棱面的交线是多边形的边，截平面与棱线的交点是多边形的顶点，因此，求截平面与平面立体的截交线，只要求出立体的棱线与截平面的交点，然后依次把同一棱面上的交点连线即可。
【例4-1】 如图4-2（a）所示，已知四棱柱被一正垂面截切，完成四棱柱被截切后截交线的投影。
分析 由已知视图可以看出，四棱柱底面平行于水平投影面，截平面斜截四棱柱的四个棱面，截交线是四边形。由于截平面是正垂面，因此截交线的正面投影就重合在截平面积聚的直线上；截交线的水平投影与棱面一样积聚在底面的各边上，由此可以判断，截交线在主视图和俯视图上的投影为已知，只需求出截交线的侧面投影即可。
作图
1）利用积聚性直接作出棱柱体的四条棱线与截平面交点的正面投影1′、2′、3′、4′和水平投影1、2、3、4，如图4-2（b）所示。
2）然后利用直线上点的投影性质，作出交点的侧面投影1″、2″、3″、4″。
3）判别可见性并连点 把四个交点（按同棱面交点相连的原则）相连。由于交点Ⅲ、Ⅳ所在棱面的左视图为不可见面，因此3″和4″两点连线应画虚线，如图4-2（c）所示。
4）整理轮廓线 由于截切平面把四棱柱的上部切断，因此截切平面以上的四棱柱的轮廓线应擦去。四棱柱被截切后的三视图，如图4-2（c）所示。
图4-2 四棱柱截交线作图
【例4-2】 求三棱锥被正垂面截切后，截交线的投影，如图4-3（a）所示。
分析 三棱锥底面平行于水平投影面，截平面斜切三棱锥的三个棱面及底面，因此截交线是四边形；由于截平面是正垂面，截交线的正面投影就重合于截平面所积聚的直线上，需画出截交线的水平投影和侧面投影。
作图
1） 在主视图上利用积聚性，直接标出截交线上的正面投影1′、2′、3′、4′，如图4-3（b）。
2） 根据直线上取点的作图方法，直接作出交点的水平投影1、2、3、4和侧面投影1″、2″、3″、4″。
3）判别可见性并连点， 由于截交线的水平投影可见，侧面投影无锥体棱面遮挡亦可见，因此，用粗实线顺序连接1、2、3、4四点及1″、2″、3″、4″成四边形。
4）整理轮廓线：由于截切平面把三棱锥的左上部切断，因此截切平面以上的轮廓线应擦去。三棱锥被截切后的三视图，如图4-3（c）所示。
4.1.3
平面与回转体相交
当平面与回转体相交时，由于回转体表面的性质不同，截切平面与立体的相对位置不同，截交线也都具有不同的形状。平面截切回转体，主要是平面与回转面的交线问题。
1．回转体截交线的形状特性分析
（1） 平面截切圆柱
截平面与圆柱体轴线的相对位置不同，在圆柱面上产生的截交线有三种不同的形状。如表4-1所示。
1） 平行于圆柱轴线时，它与圆柱面相交于两条素线，与上下底面相交为两直线，所以截交线的形状是矩形。
2） 截平面垂直于圆柱轴线时，截交线的形状是与圆柱体直径相同的圆。
3） 截平面倾斜于圆柱轴线时，截交线的形状是椭圆；椭圆的短轴垂直于圆柱轴线，其长度等于圆柱体直径，椭圆的长轴垂直于椭圆的短轴且倾斜于圆柱轴线，其长度随截平面对圆柱轴线的倾斜程度而变化。
表4-1 平面与圆柱相交的截交线性质
（2） 平面截切圆锥
设截平面与圆锥轴线的夹角为，母线与轴线的夹角为，当与之间大小不同时，即截平面与圆锥体轴线的相对位置不同，在圆锥表面上产生的交线有五种不同形状。如表4-2所示：
1） 平面垂直于圆锥轴线时，在圆锥表面产生的交线是纬圆，截切平面据锥顶愈近，纬圆的直径愈小。
2） 当截平面倾斜于圆锥轴线，且即平面与圆锥面的所有素线相交时，交线是椭圆。角的大小及平面据锥顶的远近不同，椭圆的长短轴在变化。
3） 当截平面倾斜于圆锥轴线，且，即平面平行于锥面上任意一条素线时，交线是抛物线。
4） 当截平面与圆锥轴线平行或倾斜，且，即平面平行于锥面上任意两条素线时，交线是双曲线。
5） 当截平面通过锥顶截切圆锥时，它与圆锥面相交于两素线，与圆锥底面相交为一直线，故截交线为等腰三角形。
表4-2 平面与圆锥相交的截交线性质
（3）平面截切圆球
平面截切圆球其截交线总是圆，截平面距球心越近，该截交圆的直径越大。当截切平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影反映圆的实形，其它两个投影为直线（直线的长等于截交圆的直径）；当截切平面垂直于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影积聚为直线，其它两个投影为椭圆。
2．回转体表面截交线的作图方法
截交线是截平面与回转面共有点的集合。作图时需求出一系列共有点的投影，然后将它们的同面投影依次连接成光滑的曲线。求截交线的常用作图方法有两种：
（1） 直接作图法 当截切平面和立体表面的投影都具有积聚性时（称为“双积聚”），在这种情况下，截交线的两个投影为巳知。这时可利用巳知投影直接求得第三投影。这种作图方法称为直接作图法。
【例4-4】 求圆柱被正垂面截断的截交线，如图4-5（a）所示。
分析
由图可知，圆柱轴线为铅垂线，圆柱面的水平投影积聚于圆周，截平面为正垂面，它的正面投影积聚为直线段，截平面倾斜于圆柱的轴线，截交线是椭圆。从截交线的共有性可知，它的正面投影与截平面的正面投影重合，其水平投影重合于圆柱面水平投影的圆周上，所以截交线的两个投影均为已知，只需求作侧面投影，侧面投影为椭圆。
作图
1） 求特殊点
特殊点是指截交线上的最高、最低，最前、最后，最左，最右点和投影可见与不可见的分界点以及截交线本身性质所决定的一些特定点，如椭圆长、短轴的端点等。这些点大多位于回转体的投影轮廓素线上，轮廓线上的共有点一般都必须求出。特殊点中的某—个点，也可能兼有几个属性，如本例中，若把四条轮廓素线上的点设定为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，则点Ⅱ和Ⅰ分别是截交线的最低、最高点，也是最左，最右点，同时，又是正面投影可见与不可见的分界点，还是椭圆长轴的两个端点。点Ⅲ和Ⅳ分别是最前、最后点，也是侧面投影可见与不可见的分界点，同时又是椭圆短轴的端点。
作图时，先由截交线的两个已知投影入手，标出特殊点的已知投影，如1、2、3、4和1′、2′、3′、4′，然后按投影关系分别求出各点侧面投影1″、2″、3″、4″。如图4-5（b）所示。
2） 求一般点
为了作图准确，便于将所求各点连接成光滑曲线，必须再适当作一些一般点。其作图方法是，先在截交线的一个巳知投影上确定一对重影点，如5′、6′，按投影关系，在截交线的水平投影上找到对应的5和6，这样由点的两个巳知投影，就可直接求作5″和6″，用同样的方法可求出7、8点的投影。
3） 连线并判别可见性
参照水平投影上各点的相邻关系，将求得的点依次连接成光滑曲线。立体可见表面上的点都是可见的，连线时将它们连接成粗实线；立体不可见表面上的点都是不可见的，将它们连接成虚线。在本例中，因圆柱左上部分被截去，所以截交线的侧面投影都可见，如图4-5（c）。
图 4-5 圆柱截交线作图
【例4-5】 圆柱体开一方槽，求其截交线，如图4-6（a）所示。
分析
如图4-6（a）所示。圆柱开槽可认为被两个平行于轴线的平面P和一个垂直于轴线的平面Q截切而成。两个P平面与圆柱面的交线是四段直线(素线)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，Q平面产生的截交线是前、后两段圆弧。另外，平面P与Q之间以及两平面与圆柱上底面相交，产生的交线都是直线。 三个截平面的正面投影有积聚性，圆柱面的水平投影有积聚性，因此圆柱表面上截交线的正面和水平投影分别与它们重合，为两巳知投影，只有侧面投影需求出。
作图
1) 从已知的正面投影入手，在水平投影的圆周上确定四段素线的水平投影。再由它们的正面和水平投影，求作对应的侧面投影。画图时，应特别注意俯、左视图的Y向尺寸相等。
2) 两段水平圆弧的侧面投影与平面Q的投影重合，是前后两段看得见的粗实线。
3) 平面与平面之间的交线分别与相应平面的积聚性投影重合。平面P和Q交线的侧面投影为不可见线，画成虚线。
4) 圆柱开槽后，侧面轮廓素线被截掉，注意侧面轮廓线只能从下底画到圆弧的投影处。
图4-6 圆柱开槽的投影作图
【例4-6】 圆筒开槽的投影作图如图4-7所示。
本题与上题相似，只是把圆柱改成圆筒，底面置于平行于侧面的位置，截平面不仅与外圆柱面相交，而且也与内圆柱面相交，因此产生了两层交线。作图时先求截平面与外圆柱面的交线，再求与内圆柱面的交线，交线的分析与作图同上题。
图4-7 圆筒开槽的投影作图
（2） 辅助线作图法 当截平面或回转体表面之一的投影有积聚性时（一般称为 “单积聚”），在这种情况下，截交线的一个投影为巳知，这时可利用在回转体表面上作辅助线的方法，求得截交线的另外两个投影。这种作图方法叫辅助线作图法。
【例4-7】 圆锥被正平面截切，求其截交线，如图4-8(a)所示。
分析
1) 圆锥的轴线垂直于侧平面，截平面为正平面，该平面与锥轴平行，截交线是双曲线。
2) 该双曲线的侧面投影和水平投影分别与平面的积聚性投影重合，为巳知，其正面投影反映真形，需求出。
作图
1） 求特殊点 如4-8中的立体图，双曲线的特殊点是位于圆锥底面圆周上的两个点Ⅱ、Ⅲ以及双曲线的顶点Ⅰ；如图4-8（b）所示，从截交线上的已知投影1、2、3出发，作出1′、1″、2″、3″，再求得2′、3′。
2) 求一般点 每作一个与截平面相交的纬圆，都可求得两个共有点，如作纬圆T，可求得两点Ⅳ和Ⅴ，如先作圆t″，确定交点4″、5″，再求得对应的t′(直线)，可在其上面求得4′和5′。如此作图，可求得一系列一般点。
3) 连线并判断可见性 按已知投影上各点的顺序，依次将所求各点连接成光滑曲线。该双曲线处于圆锥的前半部分，正面投影均为可见，用粗实线连接,如图4-8（c）所示。
图4-8 圆锥被正平面截切作图
【例4-8】 如图4-9（a）圆锥被平面P和Q截切，完成其三面投影。
分析
1) 图示为一轴线垂直于水平面的圆锥，水平面投影反映底面的实形；截平面由两个平面组成：平面P与平面Q，平面P为正垂面，平面Q是水平面，平面P和Q的交线是正垂线。
2) 平面P过锥顶截切，截交线是三角形；平面Q垂直于轴线，它与圆锥的交线是圆的一部分 。
3) 平面P截切后的截交线，其正面投影积聚成直线为已知，侧面投影与水平投影都是截交线三角形的类似形，需要求出；平面Q的正面和侧面投影积聚成直线，其水平投影反映圆的实形，由图4-9（a）可知，正面投影已知，水平与侧面投影须作出。
作图
1) 如图4-9（b）所示，在已知的正面投影上，标出截交线三角形的三个顶点s′1′2′,过1′（2′）点作纬圆，求得1、2及1″、2″点。
2) 平面Q的正面投影积聚成直线q′，其水平投影圆的纬圆半径与1点相同，纬圆与圆锥的左端、前端、后端轮廓素线交于点5、3、4，据点的投影关系求得5″、3″、4″，如图4-9（b）所示。
3） 连线 连接s12及s″1″2″，完成平面P的两面投影，水平投影12被锥顶遮挡不可见，用虚线连接；直线连接3″4″是平面Q的侧面投影；平面P与Q的交线为直线ⅠⅡ。
4） 加深整理擦去多余线，如图4-9（c）。
图4－9 圆锥被两平面截切作图
【例4-9】 圆球被三平面P、Q、N截切，求截交线，如图4-10(a)所示．
分折
如图4-10(a)是一半圆球的三面投影，半圆球被三个平面（P、Q、N）截切；P、N平面左右对称均为侧平面，所以P、N平面截切圆球后截交线是侧平圆，因截切的是半圆球一部分，截交线为部分圆弧；Q平面为水平面，截交线是水平圆弧，其侧面投影积聚成线。截交线的正面投影已知，须作出水平面及侧面投影。
作图
1） 作P和N平面上截交线的侧平纬圆p″与Q平面的水平纬圆q，作图过程如图4-10（b）。
2) 作P、N平面的水平投影均积聚成直线，分别交水平轴线于1、8，交纬圆q于2、3、6、7，作Q平面的侧面投影—积聚成直线，直线交p″于2″、3″，交球大圆于4″、5″。
3) 连线，整理 P平面侧面截交线由2″1″3″圆弧与线段2″3″组成，2″3″线段不可见，水平投影积聚在213线段；N平面侧面与p″重合，水平投影为687线段； Q平面水平投影由圆弧246、357及直线23、67组成，侧面投影是线段4″5″，其中2″4″与3″5″两段可见；从正面投影分析可知，圆球的侧面轮廓圆被切掉一部分，因此，侧面投影中，上面一段轮廓圆弧不能画出，整理后如图4-10（c）所示。
图4-10 圆球被三平面截切作图
【例4-10】 求作机床顶针头被P、Q两平面所截切口的投影，如图4-11(a)所示。
分析
1） 顶针是由轴线垂直于侧面的圆锥和圆柱组合而成的同轴回转体，圆锥与圆柱的公共底面是它们的分界线。顶针上的切口由平行于轴线的水平截面P和垂直于轴线的侧平截面Q截切而成。
2） 水平截面P与圆锥和圆柱都相交，截交线由双曲线和直线段组合而成；侧平面Q与圆柱相交，截交线为圆弧；平面P与Q的交线为正垂线。
3） P面截交线正面与侧面投影积聚成直线，且为已知，水平面投影反映实形须求出；Q面截交线侧面反映实形，正面与水平面投影积聚成直线，侧面投影与圆柱面投影重合，水平面投影需画出。
作图
1） 平面Q和圆柱面的截交线是圆弧ⅡⅠⅢ，它的侧面投影2″1″3″与圆柱面的投影重合，水平投影积聚成直线23，2、3两点用柱表面取点确定，如图4-11（b）所示。
2） 平面P和圆锥面的截交线是双曲线ⅣⅤⅥ；点Ⅵ的水平投影6可由其正面投影直接求得；点2、3可由侧面投影2″、3″及2′、3′求得，一般点7、8用辅助纬圆法作图确定；平面P与圆柱面的截交线是两条平行于轴线的直线段ⅣⅡ、ⅤⅢ；ⅣⅤ是两体截交线分界线上的点；截平面P、Q交线为直线段ⅡⅢ。
3） 圆锥与圆柱下半部底圆分界线水平投影不可见，在点4、5之间画出虚线，整理后如图4-11（c）所示。
注意：当一个截平面同时截到多个基本体时，截交线一定由多段截交线组合而成,在求截交线时一定要将相邻两段截交线的连接点（分界点）求出来。
图4-11 机床顶针头截切口投影作图
4.2 两回转体相贯
4.2.1 相贯线概述
如图4-12所示，两立体相贯，在立体的表面产生的交线称为相贯线。相贯线具有如下基本性质：
（1）共有性 相贯线是两立体表面共有点的集合。
（2）封闭性 因立体都有一定范围，所以相贯线一般是封闭的。
按相交立体表面的性质可分为：两平面立体相贯、平面立体与曲面立体相贯、两曲面立体相贯，一般常见的是两回转体相贯。求两平面立体相贯线的作图方法，实质上可归结为求两相交棱面的交线问题，或求一立体的棱线与另一立体的交点问题。求平面立体和曲面立体的相贯线，可以归结为求截交线的问题。这些问题在前面有关章节已经讨论，本节仅讨论两回转体相贯线的基本作图方法。
两回转体相贯，其相贯线一般是封闭的空间曲线（特殊情况下为平面曲线）。求相贯线的实质就是求两立体相交表面的一系列共有点的投影，而后进行连线的作图问题。
图4-12 立体相贯
4.2.2 求两回转体相贯线的基本作图方法和步骤
（1） 分析已知视图
空间分析 分析两相交立体表面的几何性质及两立体之间的相对位置，判断相贯线的空间形状。
投影分析 分析两立体与投影面的相对位置，判断相贯线的投影范围和特征。
（2） 投影作图
1）求特殊点
相贯线上的特殊点，是指相贯线上的最高、最低、最前、最后，最左、最右点，投影可见与不可见的分界点以及相贯线上的其他特征点，这些特殊点大多数都位于两个回转体的投影轮廓素线上，因此，两回转体的轮廓素线上的共有点一般都应求出。在这些特殊点中，有的点可能兼有几个属性。
2）求一般点
应在特殊点之间求适当个一般点，以便相贯线能光滑连接，使曲线的形状和位置较为准确。
3）判断可见性，顺序连点
相贯线可见性的判别原则是：当两立体表面都是可见面时，该表面上的相贯线才可见,否则为不可见。可见的相贯线画成粗实线，不可见的相贯线画成虚线。
回转体表面相贯线的连点原则是，同时位于两立体的两条相邻素线上的两点才可连线。
4）检查整理立体的外形轮廓线。
4.2.3
两回转体相交相贯线的作图举例
两回转体相交，求其相贯线时常采用直接作图法和辅助线作图法。以下举例说明这两种作图方法。
1．直接作图法
如果两相交立体表面的投影都有积聚性（称为双积聚）时，相贯线的两个投影必分别与两立体表面的有积聚性投影重合，此时相贯线的两个投影为已知，可根据点的投影规律，直接作图求出第三投影，这种作图方法叫直接作图法。
【例4-11】 求两正交圆柱的相贯线。如图4-13（a）所示。
分析
由图可知，两圆柱的轴线垂直相交(叫正交)，相贯线是一条左右、前后对称的空间曲线。一圆柱的轴线垂直于侧平面，该圆柱面的侧面投影有积聚性，相贯线的侧面投影积聚于两柱共有的部分圆弧上，另一圆柱的轴线垂直于水平面，该圆柱面的水平投影有积聚性，相贯线的水平投影与之重合在圆周上，相贯线的正面投影需求出。
作图
1）求特殊点
在已知相贯线的水平投影上，标出位于圆柱四条轮廓素线上四点的投影1、2、3、4。在侧面投影上，标出该四点相对应的投影1″、2″、3″、4″。1、2两点为相贯线最左、最右点；3、4两点为相贯线最前、后两点。由四个特殊点的已知两投影，可求出对应的正面投影1′、2′、3′、4′，其中3′和4′重影为一点。
2）求一般点
在相贯线的一个已知投影上如水干投影，对称地取四点5，6、7、8，再在侧面投影上找到它们的对应点5″6″7″8″，然后由它们的两个巳知投影求得对应的正面投影，其中5′与6′、7′和8′分别重合，如图4－13（b）所示。
3）连点并判断可见性
相贯线的正面投影前、后部分重合，前半部分为可见曲线，按水平投影上各点的顺序，依次把它们连接成光滑曲线，画成粗实线，如图4-13（c）所示。
图4－13 两圆柱相贯线的作图
两相交圆柱体的表面可以是外圆柱面，也可是内圆柱面。 图4-14（a）是两个外圆柱面正交的情况，图4-14（b）是一个外圆柱面与一个圆柱孔(内表面)正交的情况，图4-14（c）是两个圆柱孔正交的情况。但不管哪种情况，求相贯线的作图方法是完全相同的。
图4-14 两圆柱及圆柱孔相贯示例
相贯线的简化画法：当两圆柱正交，且两圆柱的轴线都平行于某一投影面时，相贯线在轴线所平行的那个投影面上的投影可以用圆弧代替。作图方法如图4-15所示，以大圆柱的半径R为半径，以两圆柱轮廓素线的交点为圆心，画弧与小圆柱轴线有一交点，以此交点为圆心，再以R为半径画弧，此圆弧即为相贯线的投影。
图4-15 简化作图
2．辅助线作图法
当相交两立体中，其中只有一个立体表面的投影有积聚性（单积聚）时，此时，相贯线的一个投影就重影在该立体表面有积聚性的投影上，相贯线的一个投影为已知，要求另外两个投影，利用在无积聚性的立体表面上求点的方法，即辅助线法作图。
【例4-12】 求圆柱与圆台的相贯线，如图4-16（a）所示。
分析 由图可知，圆台和圆柱的轴线分别是铅垂线和侧垂线，两轴线相交且处于同一正平面内，它们的相贯线是一组前后对称的空间曲线。圆柱面的侧面投影有积聚性，相贯线的侧面投影与之重合。圆锥面没有积聚性投影，此例属于单积聚的情况，可利用在圆锥面上取点的方法作图。
作图
求特殊点 如图4-16(b)所示。
1）在相贯线的已知投影――侧面投影上标出圆柱的四条轮廓素线上点的侧面投影1″、2″、3″、4″，还可看出点Ⅰ、Ⅱ也同时位于圆锥的正面轮廓素线上，可以判定，点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别是相贯线的最高、最低，最前、最后点，点Ⅰ、Ⅱ又是正面投影可见与不可见的分界点，点Ⅲ、Ⅳ是水平投影可见与不可见的分界点，除以上四点之外，还有圆锥素线相切于圆柱面的两个切点5”、6”，也是相贯线的两个极限点，是相贯线最右的两点。作两素线的投影s″e″和s″f″与圆周相切，其切点5″、6″，为它们的侧面投影。
2） 点Ⅰ、Ⅱ同时位于两立体的正面轮廓素线上，所以正面投影的轮廓线交点是1′、2′。由1′和2′可直接求得1和2；由s″e″和s″f″作出相对应的se和sf，即可在其上求得相应的5、6，由5、6与5″、6″得5′、6′；点Ⅲ、Ⅳ的正面和水平投影，需借助纬圆T求得，如图4-16(b)所示，该纬圆的水平投影t与圆柱的水平轮廓线的交点为3和4。再由3”、4”和3，4求3′、4′。
求一般点
如图4-16(b)所示，用求点3和4的方法即可求得一系列一般点，如作纬圆R，可求得点7和8等。当然，求这些点也可利用辅助素线作图。
连线并判断可见性 如图4-16（c），根据侧面投影中各点的相邻顺序连线，正面投影前后重合，只画出租实线，水平投影以3和4分界，将3--5--1--6--4段连成粗实线，其余连成虚线。
图4-16 圆柱与圆台相贯作图
【例4-13】求圆柱和半圆球的相贯钱，如图4-17(a)所示。
分析
1) 由图可知，圆柱轴线为铅垂线，且位于圆球的前后对称平面上，相贯线是一组前、后对称的空间曲线。
2) 圆柱面的水平投影有积聚性，相贯线的水平投影与之重合，为相贯线的已知投影。相贯线又是圆球表面上的线，因此，求相贯线上点的另外两个投影，可利用在圆球表面上作纬圆取点方法求得。
作图
求特殊点 如图4-17(b)所示。
1） 在相贯线的已知投影上，确定位于圆柱四条轮廓素线上点的水平投影1、2、3、4以及圆球正面和侧面轮廓线上点的水平投影1、2、5、6。
2） Ⅰ、Ⅱ两点既在圆柱正面轮廓素线上，又在圆球正面轮廓线上，因此，两立体正面轮廓线的交点即为1′和2′；由1′、2′,可直接求得1″、2″。
3） 过3和4作侧平纬圆求得3″、4″，再分别求得对应的3′、4′，5、6在圆球的左右轮廓素线圆上，可直接作5″、6″，然后求得5′、6′。
从这些特殊点所处的位置可知，点Ⅰ、Ⅱ分别是相贯线的最左，最右点，也是最高，最低点，同时又是相贯线正面投影可见与不可见的分界点，点Ⅲ、Ⅳ分别是相贯线的最前，最后点，同时也是侧面投影可见与不可见的分界点。
求一般点 如图所示。
求一般点的作图方法与前相同，在水平投影上取7、8两点，过7、8点作水平纬圆t ，可得7’、8’,用点的投影规律再求得7”、8”。
连点并判断可见性 该相贯线前后对称，其正面投影重合，由水平投影次序依次连接成粗实线即可。由于圆柱位于圆球的左边，在侧面投影上，只有位于左半圆柱面上的相贯线是可见的，因此，以圆柱的侧面轮廓线上的3″、4″分界，3″7″2″8″4″这一段曲线是可见的，连接成粗实线，其余不可见，连接成虚线。
从水平投影可以看出，圆柱和圆球的侧面轮廓线不在同一平面上，它们不能相交，因此，侧面投影中，两轮廓线的交点必不是两立体表面的共有点，同时可以看到，圆柱的侧面轮廓线位于圆球侧面轮廓线的左边，因此，圆球的侧面轮廓线的一段被圆柱遮挡，成为不可见的线。
图4-17 圆柱与半圆球相贯作图
4.2.4 回转体相贯线的特殊情况
两回转体的相贯线，一般是封闭的空间曲线，但在特殊情况下也有平面曲线或直线等。
(1) 相贯线是圆
当两回转体共轴时，其相贯线是圆。这个圆平面与回转体的轴线垂直，在回转体轴线平行的那个投影面上该圆投影为垂直于轴线的直线，如图4-18（a）（b）(e)所示。
(2) 相贯线是直线的情况
如两个圆柱轴线相互平行且共底相交时，在圆柱面上的相贯线是平行于轴线的两条公有素线，如图4-18（c）所示。当两个圆锥共顶相贯时，相贯线为锥面上的两条公有素线,如图4-18（d）所示。
(3) 相贯线是椭圆曲线
当两个回转体的轴线相交，且两个回转面公切于一圆球面时，它们的相贯线是两个相交的椭圆曲线；当两回转轴同时干行于某一投影面时，两椭圆在该投影面上的投影分别积聚，成为相交的两直线，如图4-18（f）、(e)内部均为圆柱与圆柱、图4-18(g)为圆锥与圆柱正交并同切于一圆球的相贯线情况。
图4-18 回转体贯线为圆或直线、椭圆的情况